シグマ計算

Σ（シグマ）とは？

Σ（シグマ）は、決められた範囲の値を順番に足し合わせることを表す記号です。たとえばΣ(k=1～5) kは、1 + 2 + 3 + 4 + 5を意味し、結果は15です。

本ツールでは、下限から上限までkを1ずつ増やして各項を計算し、その合計を求めます。扱うのは有限個の項を足し合わせる有限和です。

シグマ記号の見方

Σ(k=1～5) k²の場合、一般項はk²、下限は1、上限は5です。1² + 2² + 3² + 4² + 5²を計算するため、結果は55になります。

下限は計算を始めるkの値、上限は計算を終えるkの値を表します。

一般項 f(k) とは？

一般項 f(k) は、kの値から各項を求めるための式です。f(k)=kなら1, 2, 3, ...、f(k)=k²なら1, 4, 9, ...のように、kの値に応じた項が決まります。

f(k)=2*k+1でkを1から始めると3, 5, 7, ...、f(k)=3^kでkを0から始めると1, 3, 9, 27, ...になります。

Σkの公式

1からnまでの自然数を足す場合は、Σ(k=1..n) k = n(n+1) ÷ 2で求められます。n=10なら、10 × 11 ÷ 2 = 55です。

Σk²の公式

1からnまでの自然数の2乗を足す場合は、Σ(k=1..n) k² = n(n+1)(2n+1) ÷ 6を使えます。n=5なら1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55です。

Σk³の公式

1からnまでの自然数の3乗の和は、Σ(k=1..n) k³ = {n(n+1) ÷ 2}²で求められます。n=3なら1³ + 2³ + 3³ = 36です。

一般項を指定して計算する方法

本ツールでは、kを使った一般項を直接入力できます。2*k+1をk=1～3で計算すると、3 + 5 + 7 = 15です。3^kをk=0～3で計算すると、1 + 3 + 9 + 27 = 40になります。

入力できる式は、変数k、定数pi・e、演算子+・-・*・/・^、かっこ、関数sqrt()・abs()です。掛け算は2*kのように*を明記してください。

シグマ計算の例

kを1～10で計算すると総和は55、k^2を1～5で計算すると総和は55です。2*k+1を0～4で計算すると、1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25になります。3^kを0～3で計算すると総和は40です。

下限・上限と項数について

下限と上限には-100000～100000の整数を入力できます。上限は下限以上にしてください。項数は「上限 − 下限 + 1」で決まり、下限1・上限10なら10項です。

本ツールで一度に計算できる項数は100000以下です。下限には負の整数も指定できます。たとえばf(k)=abs(k)を-2～2で計算すると、2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6です。

計算するときの注意点

本ツールでは、指定した下限から上限までkを1ずつ変化させ、各項を数値として計算します。式の途中で0除算や実数として計算できない値が発生した場合は、総和を計算できません。

たとえば1/kを-1～1で計算するとk=0を含むため、0除算になります。sqrt(k)の範囲に負の数が含まれる場合も、実数の範囲では計算できません。無限級数の収束判定や、式を変形して一般公式を求める機能には対応していません。

展開結果について

項数が少ない場合は各項を展開して表示します。項数が多い場合は、結果を確認しやすいように一部の項を省略して表示します。